ল্যাম্বার্ট ডব্লিউ ফাংশন

গনিতের ভাষায় ল্যাম্বার্ট ডব্লিউ ফাংশন এর অপর নাম হচ্ছে ওমেগা ফাংশন অথবা প্রোডাক্ট লগারিদম। এটা বিপরীত সম্পর্ক এর একটি শাখা। অন্য কথায় ফাংশন $f(z)=ze^{z}$ যেখানে $ez$ এক্সপোনেনশনাল ফাংশন এবং $z$ হল কোন জটিল সংখ্যা। অন্যভাবে বলা যায়:

$z=f^{-1}(ze^{z})=W(ze^{z})$

$z_{0}=ze^{z}$- এ উপরের সমীকরণটি প্রতিস্থাপন করে, আমরা W ফাংশন (এবং সাধারণভাবে W সম্পর্কের জন্য) জন্য সংজ্ঞায়িত সমীকরণ পাই:

$z_{0}=W(z_{0})e^{W(z_{0})}$

কোন জটিল সংখ্যা $z_{0}$ এর জন্য।

যেহেতু ফাংশন ƒ ইনজেক্টিভ নয় তাই, সম্পর্ক W multivalued হয় (0 ছাড়া)। যদি আমরা প্রকৃত মূল্যবান W- এর উপর মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করি তবে জটিল ভেরিয়েবল Z তারপর প্রকৃত ভেরিয়েবল x দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং সম্পর্কটি কেবল x ≥ −1/e এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং (−1/e, 0) এর দ্বিগুণ)। অতিরিক্ত সংকোচন W ≥ −1 একটি একক-মান সম্পন্ন ফাংশন W₀(x) সংজ্ঞায়িত করে। আমরা W₀(0) = 0 এবং W₀(−1/e) = −1 পাই। এদিকে, নিম্ন শাখাটি W ≤ −1 এবং W₋₁(x) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। এটি W₋₁(−1/e) = −1 থেকে W₋₁(0⁻) = −∞ এ হ্রাস পায়।

$x={\frac {W[\ln(a)z]}{\ln(a)}}$ ব্যবহার করে একে $z=xa^{x}$ পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে।

ল্যাম্বার্ট ডব্লিউ রিলেশনটি প্রাথমিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যায় না। উদাহরণস্বরূপ, গাছের সংখ্যা গণনা করার জন্য এটি যৌগিক পদার্থের উপযোগী। এটি এক্সপোনেনশিয়াল (যেমন প্লাংক, বোস-আইনস্টাইন, এবং ফারমার-ডারাক ডিস্ট্রিবিউশনগুলির সর্বোচ্চ মান) সমন্বিত বিভিন্ন সমীকরণ সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং ডিফল্ট সমীকরণগুলির সমাধান যেমন- y'(t) = a y(t − 1) জৈব রসায়ন এবং বিশেষত এনজাইম গতিবিদ্যাতে, মাইকেলিস-মেন্টেন ক্যাটাটিক্সের সময়সীমার গতিবিজ্ঞান বিশ্লেষণের জন্য একটি বন্ধ-ফর্ম সমাধান ল্যাম্বার্ট ডাব্লু ফাংশনের শর্তে বর্ণিত হয়।