E (গাণিতিক ধ্রুবক)

টেমপ্লেট:About টেমপ্লেট:E (গাণিতিক ধ্রুবক) টেমপ্লেট:Mvar হলো প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি। এটি একটি বাস্তব সংখ্যা যার সংখ্যাগত মান হলো ২.৭১৮ ২৮১ ৮২৮ ৪...

সংজ্ঞা

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

অর্থাৎ e হলো প্রদত্ত রাশিটির সীমা, যখন n এর মান অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অন্য কথায়, n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, রাশিটির মান তত e এর কাছাকাছি যেতে থাকে।

মান নির্ণয়

১ + ১/১! + ১/২! + ১/৩! + ১/৪! + ... অসীম ধারাটির সমষ্টি e এর সমান।

প্রমাণটাও সহজ, প্যাসক্যালের বাইনোমিয়াল সূত্র বলে,

$(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)x^{2}}{2!}}+{\frac {n(n-1)(n-2)x^{3}}{3!}}+\ldots$

সুতরাং, যখন $x={\frac {1}{n}}$, তখন,

$(1+{\frac {1}{n}})^{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})}{2!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})(1-{\frac {2}{n}})}{3!}}+\ldots$

যার সীমা হলো e (কারণ n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, ${\frac {1}{n}}$ এর মান তত শুন্যের দিকে কমতে থাকে)।

সূচক ফাংশন

${\sqrt[{x}]{x}}$ এর চরম মান টেমপ্লেট:Nowrap

$e^{x}$ রাশিটিকে x এর ফাংশন হিসেবে ধরে একে সূচক ফাংশন বলা হয়। একে $\exp(x)$ও লেখা হয়।

ফাংশনটিকে একটি অসীম ধারা হিসেবে লেখা যায় (এই ধারাটি কোন নির্দিষ্ট x এর জন্য ফাংশনটির মান নির্ণয়েও ব্যবহৃত হয়),

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots$

অয়লারের অভেদ

$e^{i\pi }+1=0\;$ সমীকরণটি e কে ১, π এবং i এর মতন গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত করে। ১৭৩৭ সালে অয়লার দেখান যে, e একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৮৭৩ সালে হেরমিট প্রমাণ করেন যে, e একটি তুরীয় সংখ্যা(π পাই এর মত)